tag:blogger.com,1999:blog-17288223154759795432023-11-15T07:52:22.947-08:00Potenciacion y radicacioncarlos gutierrezhttp://www.blogger.com/profile/11579291404968351909noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-1728822315475979543.post-82004560538295448452010-10-19T12:14:00.000-07:002010-10-19T12:14:23.316-07:00Potenciación y radicación<h1 class="firstHeading" id="firstHeading">Potenciación</h1><!-- /firstHeading --><!-- bodyContent --><div id="bodyContent"><!-- tagline --><div id="siteSub">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div><!-- /tagline --><!-- subtitle --><div id="contentSub"></div><!-- /subtitle --><!-- jumpto --><div id="jump-to-nav">Saltar a <a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=1728822315475979543#mw-head"><span style="color: #0645ad;">navegación</span></a>, <a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=1728822315475979543#p-search"><span style="color: #0645ad;">búsqueda</span></a> </div><!-- /jumpto --><!-- bodytext -->La <b>potenciación</b> es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base <i>a</i> y exponente <i>n</i>.<br />
Se escribe a<sup><span style="font-size: x-small;">n</span></sup>, y se lee: «<i>a</i> elevado a <i>n</i>». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:<br />
<ul><li>Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.</li>
</ul><dl><dd><img alt="a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/4/c/34c04a6ca2ac051a6e46494f613dfad2.png" /></dd></dl>Por ejemplo: <img alt=" 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/5/7/f57a009808ef78ad4f345abe88b9508a.png" />.<br />
<ul><li>cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.</li>
</ul><dl><dd><img alt="a^{-p}= \frac{1}{a^p}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/b/66b763b24f2ef01c335133182b5f0a02.png" /></dd></dl><ul><li>cuando el exponente es una fracción irreducible <i>n/m</i>, equivale a una raíz:</li>
</ul><dl><dd><img alt=" a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/9/8/3983643a5db08e21da69fffabbc0875c.png" /></dd></dl>Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;">0<sup><span style="font-size: x-small;">0</span></sup></span></span> que, en principio, es una indefinición (ver cero).<br />
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.<br />
<br />
<br />
<span class="mw-headline"><span class="mw-headline" id="Potencia_de_exponente_0">Potencia de exponente 0</span></span><a href="" id="T.C3.A9rminos" name="T.C3.A9rminos"></a><h2><span class="editsection"><span style="font-size: small;"></span></span> </h2><h2><span class="editsection"><span style="font-size: small;"></span></span> </h2><br />
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la <a href="http://www.blogger.com/wiki/Uno" title="Uno"><span style="color: #0645ad;">unidad</span></a> (1), puesto que:<br />
<dl><dd><img alt="1 = \frac {a^1} {a^1} = a^{1-1} = a^0\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/c/46c9b3fa9d97f795f53339f37ad90f72.png" /></dd></dl><h3> <span class="mw-headline" id="Potencia_de_exponente_1">Potencia de exponente 1</span></h3>Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:<br />
<dl><dd><img alt="a^1 = a \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/a/93aa240565f54a6bc21b3257e6d173e4.png" /></dd></dl>Ejemplo:<br />
<dl><dd><img alt="54^1=54 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/6/a/a6afdb151d80558d111bf051b70aae77.png" /></dd></dl><h3> <span class="mw-headline" id="Potencia_de_exponente_negativo">Potencia de exponente negativo</span></h3>Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:<br />
<dl><dd><img alt="a^{-n} = a^{0-n} = \frac {a^0}{a^n} = \frac {1}{a^n}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/2/0c29f4391e8fead4ecd73583c0f2928b.png" /></dd></dl><h3><span class="mw-headline" id="Multiplicaci.C3.B3n_de_potencias_de_igual_base">Multiplicación de potencias de igual base</span></h3>El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):<br />
<dl><dd><img alt=" a^m \cdot a^n = a^{m + n} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/2/7/1273c298202a58254aaf8e56c32f3c51.png" /></dd></dl>Ejemplos:<br />
<dl><dd><img alt=" 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/e/0/1e0c830d730b37d219070877af3513c5.png" /></dd></dl><h3> <span class="mw-headline" id="Divisi.C3.B3n_de_potencias_de_igual_base">División de potencias de igual base</span></h3>La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:<br />
<dl><dd><img alt=" \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/e/d/3ede94bd2a4103507da8a07ff6f02c30.png" /></dd></dl>Ejemplo:<br />
<dl><dd><img alt=" \frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/e/a/6eae72eb956b9e61ebf8906c67ab2400.png" /></dd></dl><h3><span class="mw-headline" id="Potencia_de_un_producto">Potencia de un producto</span></h3>La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base <i>a.b</i> y de exponente <i>n</i>, es igual al factor <i>a</i> elevado a <i>n</i>, multiplicado por el factor <i>b</i> también elevado a <i>n</i>:<br />
<dl><dd><span class="mw-headline" id="Potencia_de_una_potencia">Potencia de una potencia</span></dd></dl>La potencia de una potencia de base <i>a</i> es igual a la potencia de base <i>a</i> y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):<br />
<dl><dd><img alt=" {(a^m)}^n = a^{m \cdot n} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/f/1/0f1198e44844680ff7bf8302c8c52d92.png" /></dd></dl>Debido a esto, la notación <img alt="a^{b^c}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/4/a/04ad4c6cdb603f347a9a031b8187b4fd.png" /> se reserva para significar <img alt="a^{(b^c)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/0/f/60f00ff362d614f5f6596bf04b0be521.png" /> ya que <img alt="{(a^b)}^c" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/3/5/435b084d29c5f8976c6edc5d0ed5e06e.png" /> se puede escribir sencillamente como <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>a</i><sup><span style="font-size: x-small;"><i>b</i><i>c</i></span></sup></span></span>.<br />
<h3> <span class="mw-headline" id="Propiedad_distributiva">Propiedad distributiva</span></h3>La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:<br />
<dl><dd><img alt=" (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/6/2/0622c1e7ddef1b35238c771364462869.png" /></dd></dl><dl><dd><img alt=" \Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/9/5/d951efc07984e761a4f1afd6f7eae2a7.png" /></dd></dl><h3><span class="mw-headline" id="Propiedades_que_no_cumple_la_potenciaci.C3.B3n">Propiedades que <i>no</i> cumple la potenciación</span></h3>No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:<br />
<dl><dd><img alt="(a + b)^m \ \neq\ a^m + b^m " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/e/e/0ee69562442fc4d2d2a294888cca827b.png" /></dd><dd><img alt="(a - b)^m \ \neq\ a^m - b^m " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/1/7/2171f116f12e9f36e58fc0d73d9cd71c.png" /></dd></dl>No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:<br />
<dl><dd><img alt="a^b \ \neq\ b^a " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/4/c/d4cdef7989299a6c2dc983619c6b295e.png" /></dd></dl>Tampoco cumple la propiedad asociativa:<br />
<dl><dd><img alt="a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b c}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/2/a/82a3f937a446eb0a075564c2b7351c22.png" /></dd></dl><h3><span class="mw-headline" id="Potencia_de_base_10">Potencia de base 10</span></h3>En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.<br />
Ejemplos:<br />
<dl><dd><img alt=" 10^{-5}=0,00001 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/6/a/56ab79ed16b65e12781cfedfc4169356.png" /></dd><dd><img alt=" 10^{-4}=0,0001 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/a/3/6a363d078257949f4114b62cf4340ce8.png" /></dd><dd><img alt=" 10^{-3}=0,001 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/a/2/8a22f0a12d1f16a561d3a88db07df004.png" /></dd><dd><img alt=" 10^{-2}=0,01 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/f/9/5f9edaf2a44f73cd5686c05c72665e89.png" /></dd><dd><img alt=" 10^{-1}=0,1 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/b/18b558b808a07d85494f8a76dbd4cd43.png" /></dd><dd><img alt=" 10^0=1 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/e/2/fe2ea2faca1c7b1afd64f7efe5854ecd.png" /></dd><dd><img alt=" 10^1=10 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/c/3/3c3bc3cf53cbf44a66712e25f23097f2.png" /></dd><dd><img alt=" 10^2=100 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/9/c/79c57cc478db64364dbf3762dd1691c3.png" /></dd><dd><img alt=" 10^3=1.000 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/5/e/c5e82baca24b0ad5fa383fb260c1a8e2.png" /></dd><dd><img alt=" 10^4=10.000 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/f/3/cf374fbbedb888378ff484ecfa751a58.png" /></dd><dd><img alt=" 10^5=100.000 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/6/48645e36e85c63bf4ec0577d9d7c790b.png" /></dd><dd><img alt=" 10^6=1.000.000 \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/a/f/6af348ad71ac0b02b9d5154eb3231c77.png" /></dd></dl><h2><span class="mw-headline" id="Potencia_de_n.C3.BAmeros_complejos"> Radicación</span></h2><h2><span class="mw-headline"><span style="font-size: small;">Sea <i>n</i> un </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural"><span style="color: #0645ad; font-size: small;">número natural</span></a><span style="font-size: small;"> no nulo. La función (</span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación"><span style="color: #0645ad; font-size: small;">potenciación</span></a><span style="font-size: small;">) x → x<sup>n</sup> define una biyección de <img alt="\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" /> hacia <img alt="\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" /> si <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;">''<i>n</i>''</span></span> es impar, y hacia <img alt="\mathbb{R}^+ = [0,\infty)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/3/93390a5556858c16e3a69f62b7b49ff0.png" /> si <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;">''<i>n</i>''</span></span> es par. Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática"><span style="color: #0645ad; font-size: small;">función matemática</span></a><span style="font-size: small;"> </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca" title="Función recíproca"><span style="color: #0645ad; font-size: small;">recíproca</span></a><span style="font-size: small;">.</span><br />
<span style="font-size: small;">Se puede anotar de las formas:</span><br />
<span style="font-size: small;"><img alt="y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/0/da08201213a1c583a35ad8551b7033a1.png" />.</span><br />
<span style="font-size: small;">Para todo <i>n</i> natural, <i>a</i> y <i>b</i> reales positivos, tenemos la equivalencia:</span><br />
<span style="font-size: small;"><img alt="a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/9/c99b9f1ded801acbedaec4892e4a9cfd.png" />.</span><br />
<span style="font-size: small;">En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.</span></span></h2></div>carlos gutierrezhttp://www.blogger.com/profile/11579291404968351909noreply@blogger.com0